L'origine de Quadrature

Manière de réduire une figure en un carré, ou de trouver un carré égal à une figure proposée.

Dans l'Antiquité

Anaxagore de Clazomène paraît être le premier parmi les Grecs qui se soit occupé de la quadrature du cercle, sans beaucoup de succès sans doute. L'histoire rapporte qu'elle fut l'objet de ses méditations dans la prison où il avait été jeté comme accusé d'impiété pour avoir pensé que les astres étaient matériels.
Hippocrate de Chio, qui florissait dans le Ve siècle avant Jésus-Christ, fit voir indubitablement qu'il existe des espaces curvilignes exactement carrables : ses lunules, connues des géomètres, en sont un exemple frappant ; mais il n'alla pas plus loin.
Environ deux siècles après lui, Archimède démontra que la parabole jouit de la même propriété, et réussit à trouver un rapport fort simple et très approché du diamètre à la circonférence d'un cercle : ce rapport est celui de 7 à 22. On conçoit que s'il était possible d'en trouver un qui fût rigoureusement exact, le problème de la quadrature du cercle serait complètement résolu, puisqu'il suffirait, pour trouver le côté du carré équivalent au cercle, de chercher une moyenne proportionnelle géométrique entre sa demi-circonférence et son rayon.

A partir de la fin du XVIe siècle

Pierre Métius est le premier des modernes à qui l'on doit quelque invention remarquable sur la mesure du cercle : il trouva, vers la fin du XVIe siècle, un rapport plus rapproché, celui de 113 à 355, qu'il est facile de graver dans la mémoire en remarquant qu'il se compose de la répétition immédiate des trois premiers nombres impairs ; mais dans la pratique il est plus commode de faire usage du rapport de 1 à 3, 1415 qui fait partie de celui que Ludolph Van-Ceulen eut le courage de calculer jusqu'au 35e chiffre décimal.
D'autres géomètres ont poussé encore beaucoup plus loin l'approximation : de ce nombre sont, Viète, Snellius, Wallis, Nicole ; et Huyghens, peu d'années après Snellius trouva des limites très resserrées entre lesquelles se trouve comprise la circonférence d'un cercle.

Le perfectionnement des calculs

Jacques Grégori, géomètre anglais, joue aussi un rôle important dans la recherche dont il s'agit ; il donna après Newton, dans ses exercitationes geomelricœ, une suite infinie pour exprimer l'aire du cercle ; mais celle qui donne l'arc par la tangente et qui est une des plus élégantes de la théorie des fonctions angulaires, fournit, étant maniée avec adresse, les approximations les plus commodes pour évaluer la circonférence d'un cercle dont le rayon est donné. Les séries de cette nature, que procure facilement l'analyse infinitésimale, offrent des moyens d'approximation, incomparablement plus abrégés que l'emploi des polygones réguliers inscrits et circonscrits, fait selon les principes du célèbre géomètre de Syracuse.
Ces moyens conduiraient, s'il était nécessaire, à la vérification des rapports donnés par Machin avec cent chiffres ; par Lagny, avec cent vingt-huit ; et en dernier lien par Vega, avec cent quarante ; mais, il faut en convenir, ce serait employer un temps dont la science et le calculateur n'auraient retiré aucun profit.
Si ces géomètres ne sont pas parvenus à démontrer, a priori, l'impossibilité de la quadrature du cercle ; du moins Lambert (Mémoire de l'académie de Berlin, 1761) a fait voir que le rapport de la circonférence au diamètre est irrationnel, et Legendre a démontré à son tour, dans une des notes de sa Géométrie, que le carré de ce rapport est lui-même irrationnel.